tooljar

    Калькулятор комплексних чисел

    Виконуйте операції з комплексними числами з покроковими рішеннями та візуалізаціями

    Швидкі приклади:

    z1 (Перше число)

    z1 = 3 + 4i = 5.0000 * cis(53.13°)

    z2 (Друге число)

    z2 = 1 + 2i = 2.2361 * cis(63.43°)

    Результат

    Прямокутна форма
    -5 + 10i
    11.1803
    Модуль (r)
    116.57°
    Аргумент (θ)

    Кроки обчислення

    (3 + 4i) * (1 + 2i)

    = (3*1 - 4*2) + (3*2 + 4*1)i

    = -5 + 10i

    Комплексна площина

    z1 z2 Результат

    Властивості z1

    Модуль (r):5.0000
    Аргумент (θ):53.13°
    Спряжене:3 - 4i
    |z1|²:25.0000

    Про комплексні числа

    Комплексні числа розширюють систему дійсних чисел шляхом введення уявної одиниці i, де i² = -1. Вони є важливими в математиці, фізиці та інженерії для представлення величин з модулем та напрямком.

    Основні формули

    • Прямокутна: z = a + bi
    • Полярна: z = r(cos(θ) + i*sin(θ)) = r*cis(θ)
    • r = √(a² + b²), θ = atan2(b, a)
    • Множення: r1*r2 * cis(θ1 + θ2)
    • Ділення: (r1/r2) * cis(θ1 - θ2)
    • Формула де Муавра: z^n = r^n * cis(n*θ)
    • Корені: z^(1/n) = r^(1/n) * cis((θ + 2πk)/n)

    Ключові концепції

    • Теорема де Муавра спрощує степені та корені за допомогою полярної форми
    • n-й корінь будь-якого комплексного числа рівномірно розподілені по колу
    • Множення обертає та масштабує; ділення обертає назад та масштабує обернено

    Пов'язані інструменти

    Калькулятор довжини дуги

    Обчисліть довжину дуги, площу сектора, довжину хорди та інші властивості кола

    Калькулятор біноміальної ймовірності

    Обчисліть біноміальні ймовірності та статистику розподілу

    Калькулятор тесту хі-квадрат

    Виконуйте тести хі-квадрат на відповідність та незалежність

    Калькулятор довірчих інтервалів

    Розрахуйте довірчі інтервали для середніх, пропорцій та різниць